1MXY 2.november 2005

Sannsynlighet og sannsynlighetsregning (3.2+3.3)

Sannsynligheten for en hending forteller hvor stor sjanse det er for at hendingen skal inntreffe.

P(Nyfødt er jente) = 0,487 Empirisk sannsynlighet (bygger på erfaring)

P(Sekser ved ett terningkast) = Teoretisk sannsynlighet = relativ frekvens for ’6’ ved stort antall kast

Utfall = resultat av en observasjon/ et forsøk

Utfallsrom (U) = mengden av alle mulige utfall

Hending = ett eller flere utfall

Eks.1 Ett kast med et pengestykke.

Venndiagram som viser utfallsrommet

P( få kron)= ½

P( få mynt)= ½

P( få kron eller mynt)= 1

P( få verken kron eller mynt)= 0

· Sannsynligheten for den sikre hending er lik 1

· Sannsynligheten for den umulige hending er lik 0

· 0< P(A) < 1 Sannsynligheten for den mulige hending ligger mellom 0 og 1

Eks. 2 Kast med en vanlig terning.

Utfallsrommet vist i Venndiagram:

Definerer hendinger:

A: Få 1 øye D: Få 4 øyne G: Få et partall øyne

B: Få 2 øyne E: Få 5 øyne H: Få et oddetall øyne

C: Få 3 øyne F: Få 6 øyne

Regel:

Uniform sannsynlighet: alle enkeltutfall har lik sannsynlighet Þ

Regel:

I noen tilfeller er det enklere å finne sannsynligheten for at en hendelse ikke inntreffer enn at den inntreffer.

Eks. 3 Du kaster to vanlige terning. Hva er sannsynligheten for

a) å få to 1’ere ?

b) at summen av øyne blir 4 ?

Venndiagram som viser utfallsrommet:

a)

b)

Eks. 1 Du kaster en terning en gang. Hva er sannsynligheten for at terningen viser mindre enn 3 øyne ?

Definerer hendingene

A: Å få ett øye

B: Å få to øyne

Hendingene A og B kan ikke inntreffe samtidig, da de ikke har noe felles utfall.

Slike hendinger sier vi er disjunkte.

Matematisk uttrykkes dette slik:

Vi sier at snittet mellom de to mengdene er lik den tomme mengde.

For disjunkte hendinger gjelder addisjonssetningen på denne formen:

’union’ leses i denne sammenheng som eller

Eks. 1 fortsatt Hva er sannsynligheten for at terningen viser et partall eller et tall større enn 3 ?

Definerer hendingene:

I: å få et partall øyne Dvs. {2,4,6}

J: å få et tall større enn 3 Dvs. {4,5,6}

Dette er sannsynligheten for å få et partall og et tall større enn 3

( et partall som er større enn 3)

’snitt’ leses i denne sammenheng som og.

Generell addisjonsregel:

Når hendingene A og B er disjunkte, vil , og derfor vil regelen alltid være riktig !

Eks. I en by har 27% av husholdningene CD-spiller og 18% har videospiller. 12% har begge deler.

Hva er sannsynligheten for at en tilfeldig valgt husholdning har minst en av spillerne ?